熊本大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第019回
この回のテストポイント
- 第1問：1の累乗根と積・距離の和
- 第2問：三角関数の積分漸化式
- 第3問：指数方程式・不等式と置換
- 第4問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第5問：部分分数分解と有限和の評価
- 第6問：二次関数の頂点・解・不等式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^29=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{28}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{28}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{28}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{58}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{59}\) を求めなさい。（7点）
第3問 指数方程式・不等式と置換（17点）
\(F(x)=4^x-30\cdot2^x+29\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）
第4問 非復元抽出の組合せと期待値（17点）
袋に赤玉58個、青玉29個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）
第5問 部分分数分解と有限和の評価（16点）
\(a_n=\frac1{(n+29)(n+30)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）
（3）\(S_n\ge\frac1{60}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 二次関数の頂点・解・不等式（16点）
実数全体で \(f(x)=x^2-58x+812\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）
解答・解説
第1問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(29\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{28}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{28}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(29\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(29\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-30u+29=(u-1)(u-29)\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-29)^2-29\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\((x-29)^2=29\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。