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甲南大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第049回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+25)(n+26)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{52}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-25)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 1250\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1250\) を解きなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le25\) で曲線 \(y=x(25-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=25、AC=50、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=25,B=25i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-25|+|x+25|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 75\) を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+25}-\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{26(n+26)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-25)=1250\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=50} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{25<x\le50} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{25}x(25-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{15625}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(25-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{25}x^2(25-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{1953125}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le625/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(25\pm\sqrt{625-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=25\pi\sqrt{625-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{390625}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=625+2500-2500\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{25\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{625}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{25} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{25}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=25\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{625}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{25}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{25}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-25,25\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-25\\50&-25\le x\le25\\2x&x>25\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=50,\quad -25\le x\le25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 75\)、\(2x\le 75\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{75}{2}\le x\le \frac{75}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。