甲南大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第092回
この回のテストポイント
- 第1問：内積・角度とベクトルの射影
- 第2問：二次方程式の解の符号
- 第3問：対数の真数条件と単調性
- 第4問：非復元抽出の組合せと期待値
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 内積・角度とベクトルの射影（25点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）
第2問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+961=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第3問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-31)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 1922\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1922\) を解きなさい。（11点）
第4問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉62個、青玉31個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-961)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(961\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-31)=1922\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。