甲南大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第019回
この回のテストポイント
- 第1問：内分点・内積・三角形の面積
- 第2問：データの変換と分散
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：合同な2円の交点と共通弦
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(44,0)、C(0,44)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
第2問 データの変換と分散（25点）
5個のデータは \(20,21,22,23,24\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（7点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（7点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（11点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-66x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=22\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{66} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第4問 合同な2円の交点と共通弦（25点）
中心O(0,0)、A(22,0)、半径がともに22の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(22\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-44)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=44で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-1452\)、接点のy座標は \(-21296\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(11\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。