國學院大學 数学①・数学I・A 数学記述模試 第064回
この回のテストポイント
- 第1問：2群のデータを合わせた平均と分散
- 第2問：二次方程式の解の符号
- 第3問：合同な2円の交点と共通弦
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散（34点）
それぞれ32個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は32、第2群の平均は34、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（10点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（10点）
（3）全データの分散を求めなさい。（14点）
第2問 二次方程式の解の符号（33点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+1024=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（9点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（9点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（15点）
第3問 合同な2円の交点と共通弦（33点）
中心O(0,0)、A(32,0)、半径がともに32の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（9点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（9点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-1024)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
解の積は \(1024\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(16\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。