國學院大學 数学①・数学I・A 数学記述模試 第032回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係と対称式
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：反復試行と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 解と係数の関係と対称式（34点）
方程式 \\(x^2-15x+50=0\\) の2解をα,βとする。
（1）2解を求めなさい。（10点）
（2）解の2乗の和を求めなさい。（10点）
（3）解の差の絶対値と逆数の和を求めなさい。（14点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（33点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=5、AC=10とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（9点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（9点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（15点）
第3問 反復試行と条件付き確率（33点）
公平な硬貨を5回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（9点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（9点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係と対称式
（1）
\((x-5)(x-10)=0\) と因数分解する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
解の和の2乗から解の積の2倍を引いても計算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
2解を代入し、差の絶対値をとる。逆数の和は解の和を積で割る。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
面積は \(25\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(5\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。