國學院大學 数学①・数学I・A 数学記述模試 第028回
この回のテストポイント
- 第1問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：反復試行と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（34点）
1から58までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを29より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（10点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（10点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（14点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（33点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=29、AC=58とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（9点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（9点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（15点）
第3問 反復試行と条件付き確率（33点）
公平な硬貨を29回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（9点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（9点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(29-\lfloor29/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
面積は \(841\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(29\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。