國學院大學 数学①・数学I・A 数学記述模試 第019回
この回のテストポイント
- 第1問：2群のデータを合わせた平均と分散
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散（34点）
それぞれ7個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は7、第2群の平均は9、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（10点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（10点）
（3）全データの分散を求めなさい。（14点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（33点）
実数全体で \(f(x)=x^2-14x+42\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（9点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（9点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（15点）
第3問 委員選出と余事象の数え上げ（33点）
男子7人、女子7人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（9点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（9点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-7)^2-7\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
\((x-7)^2=7\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。