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工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第083回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子19人、女子19人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le19\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{19}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^19=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{18}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{18}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{18}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-20\cdot2^x+19\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(19,1),\ \mathbf b=(1,19) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=19、AC=38とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{8436} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{3249} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{6498} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<19\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log19+1}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(19\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{18}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{19}+i\sin\frac{2\pi j}{19},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{38} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^19-1=(z-1)\prod_{j=1}^{18}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{18}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-20u+19=(u-1)(u-19)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_219} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_219} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-81,\quad x=\log_210} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=38,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{362}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=362t^2-76t+362 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{64800}{181},\quad t=\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=19\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(361\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{38}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{19}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。