工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第078回
この回のテストポイント
- 第1問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第2問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第3問：双曲線の接線と不変な面積
- 第4問：指数方程式・不等式と置換
- 第5問：部分分数分解と有限和の評価
- 第6問：直角三角形の三角比と内接円
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 委員選出と余事象の数え上げ（17点）
男子31人、女子31人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）
第2問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-31x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第3問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=961\\) 上の点 \(P(t,961/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第4問 指数方程式・不等式と置換（17点）
\(F(x)=4^x-32\cdot2^x+31\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）
第5問 部分分数分解と有限和の評価（16点）
\(a_n=\frac1{(n+31)(n+32)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）
（3）\(S_n\ge\frac1{64}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 直角三角形の三角比と内接円（16点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=31、AC=62とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-31x}(1-31x)\)。指数因子は正なので \(x=1/31\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{31x+1}{961}e^{-31x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-31a}\) と \(ae^{-31a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=961/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-961/t=-961(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1922/t\)。その積が \(3844\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1922/t\ge124\)。等号は \(t=31\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-32u+31=(u-1)(u-31)\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
面積は \(961\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。