工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第061回
この回のテストポイント
- 第1問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第2問：対数の評価と部分積分
- 第3問：楕円の接線と切片・回転体
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：等差数列の一般項・和・境界
- 第6問：二次関数の頂点・解・不等式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=7、AC=14、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第2問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le7\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第3問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(14\cos t,7\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-21x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=7\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{21} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項7、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 21\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 二次関数の頂点・解・不等式（16点）
実数全体で \(f(x)=x^2-14x+42\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）
解答・解説
第1問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=49+196-196\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<7\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(14/\cos t\)、\(7/\sin t\)。面積は \(49/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(49\(1-x^2/196\)\)。\(-14\le x\le14\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-14)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=14で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-147\)、接点のy座標は \(-686\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-7)^2-7\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\((x-7)^2=7\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。