工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第057回
この回のテストポイント
- 第1問：合同な2円の交点と共通弦
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：1の累乗根と積・距離の和
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：部分分数分解と有限和の評価
- 第6問：二次関数の頂点・解・不等式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 合同な2円の交点と共通弦（17点）
中心O(0,0)、A(15,0)、半径がともに15の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^15=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{14}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{14}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{14}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-45x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=15\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{45} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 部分分数分解と有限和の評価（16点）
\(a_n=\frac1{(n+15)(n+16)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）
（3）\(S_n\ge\frac1{32}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 二次関数の頂点・解・不等式（16点）
実数全体で \(f(x)=x^2-30x+210\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）
解答・解説
第1問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{15}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{15+x}\)、
は \(g(x)=1/(15+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(15\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{14}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{14}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-30)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=30で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-675\)、接点のy座標は \(-6750\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-15)^2-15\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\((x-15)^2=15\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。