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工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第053回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子26人、女子26人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{26+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{26n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2704}+\frac{y^2}{676}=1 \]

の第1象限の点 \(P(52\cos t,26\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=676\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第5問　等差数列の一般項・和・境界（16点）

初項26、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）\(a_n\ge 78\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

第6問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-26|+|x+26|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 78\) を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{22100} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{8450} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{16900} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{26+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{26+j/n} \]

は \(g(x)=1/(26+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{26+x}\,dx=[\frac23(26+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(81\sqrt{3}-26\sqrt{26})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{26+x}\,dx=[\log(26+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{27}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{52}+\frac{y\sin t}{26}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(52/\cos t\)、\(26/\sin t\)。面積は \(676/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1352,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(676\(1-x^2/2704\)\)。\(-52\le x\le52\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{140608}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-676=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-26\sqrt2\le a\le26\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm26\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{2704-2a^2},\quad\max L=52\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=26+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+25)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{27} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-26,26\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-26\\52&-26\le x\le26\\2x&x>26\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=52,\quad -26\le x\le26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 78\)、\(2x\le 78\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-39\le x\le 39} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。