神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第097回
この回のテストポイント
- 第1問：区分求積と和の極限
- 第2問：集合の包含と人数の計算
- 第3問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第2問 集合の包含と人数の計算（17点）
160人のクラスで、集合Aの人数は96人、集合Bは64人、両方に属する人数は32人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明（17点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^32=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{31}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{31}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{31}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ（16点）
\(0\le x\le 64\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+1024\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=1024\\) の内部の点 \(Q(16,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{32+x}\)、
は \(g(x)=1/(32+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(32\) なので \(a_{n+1}-a_n=32^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入して \(1/(32-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=32a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-32a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(32\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{31}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{31}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+1024-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-32\le t\le 32\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
判別式より \(t>32\) または \(t<-32\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>32\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(64)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(5120-128t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=16\) を円の式に代入する。\\(y^2=768\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-16m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{1024m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{1024-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le32/2\)。面積の2乗は \(d^2(1024-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(1024-s)\) は \(0\le s\le1024/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。