神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第094回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数の積分漸化式
- 第2問：停止する試行と期待値の連立
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{16}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{17}\) を求めなさい。（7点）
第2問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/8\)、裏の確率が \(7/8\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-24x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=8\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{24} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^8=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{7}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{7}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{7}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ（16点）
\(0\le x\le 16\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+64\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=64\\) の内部の点 \(Q(4,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(8\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(8\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/8,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(8\) 回なので合計2回の表までの平均は \(16\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-16)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=16で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-192\)、接点のy座標は \(-1024\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(8\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{7}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{7}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+64-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-8\le t\le 8\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
判別式より \(t>8\) または \(t<-8\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>8\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(16)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(320-32t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=4\) を円の式に代入する。\\(y^2=48\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-4m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{64m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{64-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le8/2\)。面積の2乗は \(d^2(64-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(64-s)\) は \(0\le s\le64/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。