神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第073回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：等差数列の一般項・和・境界
- 第4問：双曲線の接線と不変な面積
- 第5問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le15\) で曲線 \(y=x(15-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を15回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第3問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項15、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 45\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=225\\) 上の点 \(P(t,225/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第5問 三角関数を二次関数に置き換える（16点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=15\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=225\\) の内部の点 \(Q(\frac{15}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{15}x(15-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(15-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le225/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(15\pm\sqrt{225-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(15\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=225/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-225/t=-225(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(450/t\)。その積が \(900\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+450/t\ge60\)。等号は \(t=15\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=15\)、\(f(1)=-14\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(t-30t^2=0\) の解は0と \(1/30\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{15}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{675}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{15}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{225m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{225-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le15/2\)。面積の2乗は \(d^2(225-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(225-s)\) は \(0\le s\le225/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。