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神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第070回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-6x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第2問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子6人、女子6人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=7,\ a_{n+2}=7a_{n+1}-6a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第4問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^6=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{5}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{5}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{5}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第5問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+36=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=36\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-6x}(1-6x)\)。指数因子は正なので \(x=1/6\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{6},\quad\max f=\frac1{6e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{6x+1}{36}e^{-6x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(6a+1)e^{-6a}}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-6a}\) と \(ae^{-6a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{220} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{90} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{180} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=6(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(6\) なので \(a_{n+1}-a_n=6^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{6^n-1}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(6-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{6(6^n-1)-5n}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=6a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-6a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(6\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{5}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{6}+i\sin\frac{2\pi j}{6},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^6-1=(z-1)\prod_{j=1}^{5}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{5}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-36)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-6\ \text{または}\ t\ge6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(36\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-36=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-6\sqrt2\le a\le6\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm6\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{144-2a^2},\quad\max L=12\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。