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神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第037回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{4+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{4n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を4回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第3問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-12x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=4\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{12} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1 \]

の第1象限の点 \(P(8\cos t,4\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　定義域のある二次関数とパラメータ（16点）

\(0\le x\le 8\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+16\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化（16点）

円 \\(x^2+y^2=16\\) の内部の点 \(Q(2,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{4+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{4+j/n} \]

は \(g(x)=1/(4+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{4+x}\,dx=[\frac23(4+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(5\sqrt{5}-8)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{4+x}\,dx=[\log(4+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{5}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(4\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{15}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{2}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-8)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=8で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-256} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-48\)、接点のy座標は \(-128\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-48x+64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-1728} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{8}+\frac{y\sin t}{4}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(8/\cos t\)、\(4/\sin t\)。面積は \(16/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=32,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(16\(1-x^2/64\)\)。\(-8\le x\le8\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{512}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+16-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}16&t\le0\\16-t^2&0<t<8\\80-16t&t\ge8\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-4\le t\le 4\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

判別式より \(t>4\) または \(t<-4\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>4\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(8)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(80-16t\)。

\[ \boxed{4<t\le 5} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=2\) を円の式に代入する。\\(y^2=12\\)。

\[ \boxed{(2,\pm 2\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

直線は \(mx-y-2m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{16m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{16-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=4\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le4/2\)。面積の2乗は \(d^2(16-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(16-s)\) は \(0\le s\le16/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=4\sqrt{3},\quad x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。