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神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第022回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{3+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{3n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(3\) 個、青玉 \(6\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第3問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-9x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=3\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{9} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=9\\) 上の点 \(P(t,9/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=3、AC=6とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　余弦定理・面積・正弦定理（16点）

三角形ABCでAB=3、AC=6、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（4点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{3+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{3+j/n} \]

は \(g(x)=1/(3+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{3+x}\,dx=[\frac23(3+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(8-3\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{3+x}\,dx=[\log(3+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{4}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((3-1)/(9-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{6(6-1)}{9(9-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(3-1)<15-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-6)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=6で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-108} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-27\)、接点のy座標は \(-54\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-27x+27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{2187}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=9/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-9/t=-9(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{9}=2,\quad(2t,0),(0,18/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(18/t\)。その積が \(36\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+18/t\ge12\)。等号は \(t=3\) のとき。

\[ \boxed{\min=12,\quad P=(3,3)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=3\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(9\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{6}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{3}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=9+36-36\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{3\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{3} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。