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神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第016回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le17\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{17}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第2問　集合の包含と人数の計算（17点）

85人のクラスで、集合Aの人数は51人、集合Bは34人、両方に属する人数は17人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le17\) とする。\(0\le x\le17\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=17,B=17i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+289=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

第6問　放物線の接線と囲まれた面積（16点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-289)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<17\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log17+1}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{68} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{17} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{51} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le17\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{17}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{289}{2}a+\frac{4913}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{289}{2}\)。定義域内で \(a=17/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{17}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{4913}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{17}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=17\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{289}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{17}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{17}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-289)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-17\ \text{または}\ t\ge17} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>17} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(289\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{289}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=289\)。

\[ \boxed{y=34x-289,\quad y=-34x-289} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

接点は \((\pm17,289)\)。底辺の長さは \(34\)、Pから底辺までの高さは \(578\)。

\[ \boxed{9826} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-17)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{17}(x-17)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{9826}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。