神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第014回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数の積分漸化式
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：絶対値を含む面積の最適化
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{36}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{37}\) を求めなさい。（7点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(18\) 個、青玉 \(36\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第3問 絶対値を含む面積の最適化（17点）
\(0\le a\le18\) とする。\(0\le x\le18\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^18=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{17}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{17}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{17}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ（16点）
\(0\le x\le 36\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+324\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-324)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(18\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(18\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((18-1)/(54-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{36(36-1)}{54(54-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(18-1)<90-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le18\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-162\)。定義域内で \(a=18/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(18\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{17}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{17}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+324-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-18\le t\le 18\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
判別式より \(t>18\) または \(t<-18\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>18\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(36)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1620-72t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=324\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm18,324)\)。底辺の長さは \(36\)、Pから底辺までの高さは \(648\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-18)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{18}(x-18)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。