J 受験ヒーロー

神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第012回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{18+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{18n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　集合の包含と人数の計算（17点）

90人のクラスで、集合Aの人数は54人、集合Bは36人、両方に属する人数は18人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第3問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-54x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=18\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{54} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=18,B=18i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+324=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=324\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{18+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{18+j/n} \]

は \(g(x)=1/(18+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{18+x}\,dx=[\frac23(18+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(19\sqrt{19}-54\sqrt{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{18+x}\,dx=[\log(18+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{19}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{54} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-36)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=36で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-23328} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-972\)、接点のy座標は \(-11664\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-972x+5832} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-708588} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=9(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=18\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=162\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=3(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=6\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-324)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-18\ \text{または}\ t\ge18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(324\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-324=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-18\sqrt2\le a\le18\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm18\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1296-2a^2},\quad\max L=36\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。