神戸大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第006回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の評価と部分積分
- 第2問：停止する試行と期待値の連立
- 第3問：等差数列の一般項・和・境界
- 第4問：楕円の接線と切片・回転体
- 第5問：直角三角形の三角比と内接円
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le21\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第2問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/21\)、裏の確率が \(20/21\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第3問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項21、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 63\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(42\cos t,21\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第5問 直角三角形の三角比と内接円（16点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=21、AC=42とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-441)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<21\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/21,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(21\) 回なので合計2回の表までの平均は \(42\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(42/\cos t\)、\(21/\sin t\)。面積は \(441/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(441\(1-x^2/1764\)\)。\(-42\le x\le42\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
面積は \(441\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=441\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm21,441)\)。底辺の長さは \(42\)、Pから底辺までの高さは \(882\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-21)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{21}(x-21)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。