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神戸大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-441)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=22,\ a_{n+2}=22a_{n+1}-21a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(21\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第4問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1323x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=441\)。

\[ \boxed{y=42x-441,\quad y=-42x-441} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm21,441)\)。底辺の長さは \(42\)、Pから底辺までの高さは \(882\)。

\[ \boxed{18522} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-21)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{21}(x-21)^2\,dx\)。

\[ \boxed{6174} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=21(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(21\) なので \(a_{n+1}-a_n=21^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{21^n-1}{20}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(21-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{21(21^n-1)-20n}{400}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=21a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-21a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{21}=18795307255050944540\)。全割当ては \(21!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{72289643288657479}{196503623737344000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/21\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-21)(x+21)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-21\) で極大、\(x=21\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }18522,\quad\text{極小値 }-18522} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-18522<a<18522} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=18522\) では \(f(x)-a=(x-42)(x+21)^2\)。\(a=-18522\) では \(f(x)-a=(x+42)(x-21)^2\)。

\[ \boxed{a=18522:x=-21,42;\quad a=-18522:x=-42,21} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。