J 受験ヒーロー

神戸大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第046回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　余弦定理・面積・正弦定理（25点）

三角形ABCでAB=3、AC=6、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（7点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（25点）

\(a_n=\frac1{(n+3)(n+4)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）

（3）\(S_n\ge\frac1{8}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(3\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第4問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-3|+|x+3|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 9\) を解きなさい。（11点）

解答・解説

第1問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=9+36-36\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{3\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{3} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+3}-\frac1{n+4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{4(n+4)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{3}=2\)。全割当ては \(3!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{1}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/3\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-3,3\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-3\\6&-3\le x\le3\\2x&x>3\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=6,\quad -3\le x\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 9\)、\(2x\le 9\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{9}{2}\le x\le \frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。