神戸大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第043回
この回のテストポイント
- 第1問：空間の垂線と四面体
- 第2問：部分分数分解と有限和の評価
- 第3問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第4問：絶対値の和と場合分け
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 空間の垂線と四面体（25点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）
第2問 部分分数分解と有限和の評価（25点）
\(a_n=\frac1{(n+18)(n+19)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）
（3）\(S_n\ge\frac1{38}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第3問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉36個、青玉18個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
第4問 絶対値の和と場合分け（25点）
\(f(x)=|x-18|+|x+18|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）
（3）不等式 \(f(x)\le 54\) を解きなさい。（11点）
解答・解説
第1問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=108\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底面OABの面積は \(324\)、Cからこの底面までの高さは \(54\) なので体積は \(5832\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-18,18\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 54\)、\(2x\le 54\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。