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神戸大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第018回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(13,0,0),B(0,26,0),C(0,0,39) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（25点）

\(a_n=\frac1{(n+13)(n+14)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）

（3）\(S_n\ge\frac1{28}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）

第3問　委員選出と余事象の数え上げ（25点）

男子13人、女子13人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）

第4問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(13-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{507}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=78} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=78\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{468}{49},\frac{234}{49},\frac{156}{49}),\quad OH=\frac{78}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(169\)、Cからこの底面までの高さは \(39\) なので体積は \(2197\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{1183}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+13}-\frac1{n+14}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{14(n+14)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{14} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{2600} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{1014} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{2028} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<13\)。\(x(13-x)=169/4-(x-13/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,169/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<13,\quad a\le\log_2 \frac{169}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{169}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{169}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{169}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(13-x)=\frac{507}{16}\) を解く。2つの解の和は \(13\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{13}{4},\ \frac{39}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。