関西医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第082回
この回のテストポイント
- 第1問：重解を使う三次曲線の面積
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第4問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第5問：等周条件と三角形の面積
- 第6問：停止する試行と期待値の連立
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 重解を使う三次曲線の面積（17点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-675x\) の \(x=15\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^15=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{14}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{14}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{14}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-15x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第4問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=15\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第5問 等周条件と三角形の面積（16点）
周の長さが \(90\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 停止する試行と期待値の連立（16点）
表の確率が \(1/15\)、裏の確率が \(14/15\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(15)=0\) なので \(l:y=-6750\)。差は \((x-15)^2(x+30)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-30,15]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{675}{2}x^2+6750x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(15\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{14}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{14}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-15x}(1-15x)\)。指数因子は正なので \(x=1/15\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{15x+1}{225}e^{-15x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-15a}\) と \(ae^{-15a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=15\)、\(f(1)=-14\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-30t^2=0\) の解は0と \(1/30\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=90-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=45(45-a)^2(2a-45)\)。微分すると \((S^2)'=270(45-a)(30-a)\)。存在範囲で \(a=30\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
半周長は \(45\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=45r\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(p=1/15,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
1回の表までの平均は \(15\) 回なので合計2回の表までの平均は \(30\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。