関西医科大学 看護学部・数学I・A 数学記述模試 第041回
この回のテストポイント
- 第1問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 委員選出と余事象の数え上げ（34点）
男子27人、女子27人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（10点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（10点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（14点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（33点）
実数全体で \(f(x)=x^2-54x+702\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（9点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（9点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（15点）
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（33点）
1から54までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを27より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（9点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（9点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（15点）
解答・解説
第1問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-27)^2-27\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
\((x-27)^2=27\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(27-\lfloor27/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。