北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第097回

この回のテストポイント

• 第1問：回転軸を変える体積計算
• 第2問：内分点・内積・三角形の面積
• 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
• 第4問：双曲線の接線と不変な面積
• 第5問：非復元抽出の組合せと期待値
• 第6問：データの変換と分散

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le32\) で曲線 \(y=x(32-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　内分点・内積・三角形の面積（17点）

A(0,0)、B(64,0)、C(0,64)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）

第3問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(32)=0\)、\(P(-32)=65536\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-64\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=1024\\) 上の点 \(P(t,1024/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　非復元抽出の組合せと期待値（16点）

袋に赤玉64個、青玉32個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（4点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（4点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（8点）

第6問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(30,31,32,33,34\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）