北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第072回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：内分点・内積・三角形の面積
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：楕円の接線と切片・回転体
- 第5問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第6問：二次方程式の解の符号
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le7\) で曲線 \(y=x(7-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 内分点・内積・三角形の面積（17点）
A(0,0)、B(14,0)、C(0,14)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(7)=0\)、\(P(-7)=686\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-14\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第4問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(14\cos t,7\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第5問 非復元抽出の組合せと期待値（16点）
袋に赤玉14個、青玉7個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（4点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（4点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（8点）
第6問 二次方程式の解の符号（16点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+49=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{7}x(7-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(7-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le49/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(7\pm\sqrt{49-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-7)\(x^2+7x-49\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(14/\cos t\)、\(7/\sin t\)。面積は \(49/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(49\(1-x^2/196\)\)。\(-14\le x\le14\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-49)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
解の積は \(49\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。