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北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第057回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le9\) で曲線 \(y=x(9-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(9,1),\ \mathbf b=(1,9) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第3問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(9)=0\)、\(P(-9)=1458\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-18\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{324}+\frac{y^2}{81}=1 \]

の第1象限の点 \(P(18\cos t,9\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(9,0)、半径がともに9の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

第6問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+81=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{9}x(9-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{243}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(9-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{9}x^2(9-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{19683}{10}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le81/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(9\pm\sqrt{81-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=9\pi\sqrt{81-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{2187}{2}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=18,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{82}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{9}{41}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=82t^2-36t+82 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{3200}{41},\quad t=\frac{9}{41}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-162,\quad b=729} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-9)\(x^2+9x-81\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=9,\frac{9}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{3645} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{18}+\frac{y\sin t}{9}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(18/\cos t\)、\(9/\sin t\)。面積は \(81/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=162,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(81\(1-x^2/324\)\)。\(-18\le x\le18\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{1944\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{9}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{9}{2},\frac{9}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{9}{2},-\frac{9}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{9\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{81}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-81)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-9\ \text{または}\ t\ge9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(81\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。