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北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第051回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{5+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{5n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+5)(n+6)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{12}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-5)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 50\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 50\) を解きなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=5,B=5i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　余弦定理・面積・正弦定理（16点）

三角形ABCでAB=5、AC=10、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（4点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-10x+20\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{5+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{5+j/n} \]

は \(g(x)=1/(5+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{5+x}\,dx=[\frac23(5+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(6\sqrt{6}-5\sqrt{5})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{5+x}\,dx=[\log(5+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{6}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+5}-\frac1{n+6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{6(n+6)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-5)=50\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{5<x\le10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{5}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=5\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{25}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{5}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=25+100-100\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{5\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{25}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{5} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-5)^2-5\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-5,\quad x=5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-5)^2=5\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=5\pm\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{5-\sqrt{5}\le x\le 5+\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。