北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第037回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：部分分数分解と有限和の評価
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第6問：二次方程式の解の符号
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le6\) で曲線 \(y=x(6-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 部分分数分解と有限和の評価（17点）
\(a_n=\frac1{(n+6)(n+7)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）
（3）\(S_n\ge\frac1{14}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-18x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=6\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{18} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^6=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{5}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{5}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{5}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 余弦定理・面積・正弦定理（16点）
三角形ABCでAB=6、AC=12、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（4点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 二次方程式の解の符号（16点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+36=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{6}x(6-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(6-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le36/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(6\pm\sqrt{36-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-12)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=12で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-108\)、接点のy座標は \(-432\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(6\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{5}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{5}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=36+144-144\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-36)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
解の積は \(36\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。