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北里大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第006回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{15+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{15n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(15,1),\ \mathbf b=(1,15) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第3問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(15)=0\)、\(P(-15)=6750\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-30\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{900}+\frac{y^2}{225}=1 \]

の第1象限の点 \(P(30\cos t,15\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　余弦定理・面積・正弦定理（16点）

三角形ABCでAB=15、AC=30、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（4点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+225=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{15+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{15+j/n} \]

は \(g(x)=1/(15+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{15+x}\,dx=[\frac23(15+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(64-15\sqrt{15})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{15+x}\,dx=[\log(15+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{16}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=30,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{226}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{15}{113}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=226t^2-60t+226 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{25088}{113},\quad t=\frac{15}{113}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-450,\quad b=3375} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-15)\(x^2+15x-225\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=15,\frac{15}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{16875} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{30}+\frac{y\sin t}{15}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(30/\cos t\)、\(15/\sin t\)。面積は \(225/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=450,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(225\(1-x^2/900\)\)。\(-30\le x\le30\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{9000\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=225+900-900\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{15\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{225}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{15} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-225)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-15\ \text{または}\ t\ge15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(225\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。