京都工芸繊維大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第010回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の真数条件と単調性
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：等差数列の一般項・和・境界
- 第4問：直角三角形の三角比と内接円
- 第5問：1の累乗根と積・距離の和
- 第6問：非復元抽出の組合せと期待値
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-17)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 578\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 578\) を解きなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項17、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 51\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 直角三角形の三角比と内接円（17点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=17、AC=34とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^17=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{16}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{16}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{16}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 非復元抽出の組合せと期待値（16点）
袋に赤玉34個、青玉17個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（4点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（4点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-17)=578\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{17+x}\)、
は \(g(x)=1/(17+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
面積は \(289\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(17\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{16}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{16}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。