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近畿大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第085回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3364}+\frac{y^2}{841}=1 \]

の第1象限の点 \(P(58\cos t,29\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第2問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子29人、女子29人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-58x+812\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項29、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-87x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=29\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{87} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{29+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{29n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{58}+\frac{y\sin t}{29}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(58/\cos t\)、\(29/\sin t\)。面積は \(841/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1682,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(841\(1-x^2/3364\)\)。\(-58\le x\le58\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{195112}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{30856} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{11774} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{23548} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-29)^2-29\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-29,\quad x=29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-29)^2=29\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=29\pm\sqrt{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{29-\sqrt{29}\le x\le 29+\sqrt{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=29\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=29(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{29}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-58)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=58で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-97556} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-2523\)、接点のy座標は \(-48778\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2523x+24389} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{19096587}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{29+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{29+j/n} \]

は \(g(x)=1/(29+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{29+x}\,dx=[\frac23(29+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(30\sqrt{30}-29\sqrt{29})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{29+x}\,dx=[\log(29+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{30}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。