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近畿大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第068回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^24=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{23}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{23}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{23}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(24,0)、半径がともに24の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-24|+|x+24|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 72\) を解きなさい。（7点）

第4問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+24)(n+25)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{50}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-72x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=24\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{72} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{48}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{49}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(24\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{23}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{24}+i\sin\frac{2\pi j}{24},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{48} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^24-1=(z-1)\prod_{j=1}^{23}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{23}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(12\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(12,12\sqrt{3}),\quad Q=(12,-12\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{24\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{144\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-24,24\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-24\\48&-24\le x\le24\\2x&x>24\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=48,\quad -24\le x\le24} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 72\)、\(2x\le 72\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-36\le x\le 36} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+24}-\frac1{n+25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{25(n+25)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{25} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-48)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=48で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-55296} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-1728\)、接点のy座標は \(-27648\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-1728x+13824} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-2239488} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(24\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{8061900920775}{140737488355328}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(24\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{70368744177664}{395033145117975}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。