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慶應義塾大学 総合政策・環境情報・数学選択 数学記述模試 第059回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(84\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(14-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{147}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le14\) とする。\(0\le x\le14\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(14\) 個、青玉 \(28\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=84-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=84-2a,\quad 21<a<42} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=42(42-a)^2(2a-42)\)。微分すると \((S^2)'=252(42-a)(28-a)\)。存在範囲で \(a=28\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=28,\quad S_{\max}=196\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(42\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=42r\)。

\[ \boxed{r=\frac{14}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<14\)。\(x(14-x)=196/4-(x-14/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,196/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<14,\quad a\le\log_2 49} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 49:2\text{個};\quad a=\log_2 49:1\text{個};\quad a>\log_2 49:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(14-x)=\frac{147}{4}\) を解く。2つの解の和は \(14\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{7}{2},\ \frac{21}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le14\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{14}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-98a+\frac{2744}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-98\)。定義域内で \(a=14/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=7\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1372}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((14-1)/(42-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{13}{123}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{28(28-1)}{42(42-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(14-1)<70-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。