J 受験ヒーロー

慶應義塾大学 総合政策・環境情報・数学選択 数学記述模試 第048回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=625\\) の内部の点 \(Q(\frac{25}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+25\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=25\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=26,\ a_{n+2}=26a_{n+1}-25a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(25\) 個、青玉 \(50\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{25}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1875}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{25}{2},\pm \frac{25}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{25}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{625m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{625-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=25\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le25/2\)。面積の2乗は \(d^2(625-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(625-s)\) は \(0\le s\le625/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{625}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{25}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=25+t-50t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=25+\frac1{200}-50(t-\frac1{100})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=25\)、\(f(1)=-24\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{5001}{200}\ (\sin\theta=\frac1{100}),\quad\min f=-24\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-50t^2=0\) の解は0と \(1/50\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{50}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=25(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(25\) なので \(a_{n+1}-a_n=25^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{25^n-1}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(25-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{25(25^n-1)-24n}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=25a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-25a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((25-1)/(75-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{4}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{50(50-1)}{75(75-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{6}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(25-1)<125-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{6}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。