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慶應義塾大学 総合政策・環境情報・数学選択 数学記述模試 第040回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(21,0,0),B(0,42,0),C(0,0,63) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第2問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(21-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{1323}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第3問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/21,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(21\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=126} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=126\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{108}{7},\frac{54}{7},\frac{36}{7}),\quad OH=18} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(441\)、Cからこの底面までの高さは \(63\) なので体積は \(9261\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{3087}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<21\)。\(x(21-x)=441/4-(x-21/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,441/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<21,\quad a\le\log_2 \frac{441}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{441}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{441}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{441}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(21-x)=\frac{1323}{16}\) を解く。2つの解の和は \(21\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{21}{4},\ \frac{63}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+20}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{21}-\frac1{n+21}=\frac{n}{21(n+21)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+21}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{21}=18795307255050944540\)。全割当ては \(21!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{72289643288657479}{196503623737344000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/21\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。