慶應義塾大学 総合政策・環境情報・数学選択 数学記述模試 第019回
この回のテストポイント
- 第1問：等周条件と三角形の面積
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：重解を使う三次曲線の面積
- 第4問：抽出方法と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(36\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（25点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=6\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）
第3問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-108x\) の \(x=6\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
第4問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(6\) 個、青玉 \(12\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=36-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=18(18-a)^2(2a-18)\)。微分すると \((S^2)'=108(18-a)(12-a)\)。存在範囲で \(a=12\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(18\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=18r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=6\)、\(f(1)=-5\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(t-12t^2=0\) の解は0と \(1/12\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(6)=0\) なので \(l:y=-432\)。差は \((x-6)^2(x+12)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-12,6]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-54x^2+432x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は \(\int_0^{6}(f(x)+432)\,dx=972\)。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((6-1)/(18-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{12(12-1)}{18(18-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(6-1)<30-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。