慶應義塾大学 理工学部 数学記述模試 第060回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：楕円の接線と切片・回転体
- 第4問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第5問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第6問：剰余定理と三次式の因数分解
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le11\) で曲線 \(y=x(11-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を11回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第3問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(22\cos t,11\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第4問 三項間漸化式と互いに素の証明（17点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）
第5問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=121\\) の内部の点 \(Q(\frac{11}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
第6問 剰余定理と三次式の因数分解（16点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(11)=0\)、\(P(-11)=2662\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（4点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）
（3）P(x)を \(x-22\) で割った余りを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{11}x(11-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(11-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le121/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(11\pm\sqrt{121-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(11\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(22/\cos t\)、\(11/\sin t\)。面積は \(121/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(121\(1-x^2/484\)\)。\(-22\le x\le22\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(11\) なので \(a_{n+1}-a_n=11^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入して \(1/(11-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=11a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-11a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{11}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{363}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{11}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{121m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{121-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le11/2\)。面積の2乗は \(d^2(121-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(121-s)\) は \(0\le s\le121/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(P(x)=(x-11)\(x^2+11x-121\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。