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慶應義塾大学 理工学部 数学記述模試 第026回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{20}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{21}\) を求めなさい。（7点）

第2問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/10\)、裏の確率が \(9/10\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-10|=2|z+10|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=11,\ a_{n+2}=11a_{n+1}-10a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第5問　空間の垂線と四面体（16点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(10,0,0),B(0,20,0),C(0,0,30) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第6問　定義域のある二次関数とパラメータ（16点）

\(0\le x\le 20\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+100\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(10\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{46189}{524288}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(10\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{262144}{969969}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{100},\quad P(T=3)=\frac{9}{1000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/10,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{110} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(10\) 回なので合計2回の表までの平均は \(20\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=20,\quad\text{差}=90} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-10)^2+y^2=4((x+10)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{50}{3})^2+y^2=\frac{1600}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(50/3\)、半径は \(40/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=30\ (z=-30),\quad\min|z|=\frac{10}{3}\ (z=-\frac{10}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-10w|=2|1+10w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{1}{6})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{4}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=10(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(10\) なので \(a_{n+1}-a_n=10^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{10^n-1}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(10-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{10(10^n-1)-9n}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=10a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-10a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=60} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=60\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{360}{49},\frac{180}{49},\frac{120}{49}),\quad OH=\frac{60}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底面OABの面積は \(100\)、Cからこの底面までの高さは \(30\) なので体積は \(1000\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{350} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+100-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}100&t\le0\\100-t^2&0<t<20\\500-40t&t\ge20\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-10\le t\le 10\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

判別式より \(t>10\) または \(t<-10\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>10\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(20)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(500-40t\)。

\[ \boxed{10<t\le \frac{25}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。