J 受験ヒーロー

慶應義塾大学 理工学部 数学記述模試 第017回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le16\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{16}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第2問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/16\)、裏の確率が \(15/16\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{1024}+\frac{y^2}{256}=1 \]

の第1象限の点 \(P(32\cos t,16\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（17点）

\[ a_1=1/16,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）

第5問　等周条件と三角形の面積（16点）

周の長さが \(96\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　三次方程式の実数解の個数（16点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-768x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<16\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log16+1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{256},\quad P(T=3)=\frac{15}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/16,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{272} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(16\) 回なので合計2回の表までの平均は \(32\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=32,\quad\text{差}=240} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{32}+\frac{y\sin t}{16}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(32/\cos t\)、\(16/\sin t\)。面積は \(256/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=512,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(256\(1-x^2/1024\)\)。\(-32\le x\le32\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{32768}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+15}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{16}-\frac1{n+16}=\frac{n}{16(n+16)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+16}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=96-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=96-2a,\quad 24<a<48} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=48(48-a)^2(2a-48)\)。微分すると \((S^2)'=288(48-a)(32-a)\)。存在範囲で \(a=32\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=32,\quad S_{\max}=256\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

半周長は \(48\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=48r\)。

\[ \boxed{r=\frac{16}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-16)(x+16)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-16\) で極大、\(x=16\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }8192,\quad\text{極小値 }-8192} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-8192<a<8192} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(a=8192\) では \(f(x)-a=(x-32)(x+16)^2\)。\(a=-8192\) では \(f(x)-a=(x+32)(x-16)^2\)。

\[ \boxed{a=8192:x=-16,32;\quad a=-8192:x=-32,16} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。