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慶應義塾大学 医学部 数学記述模試 第094回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le22\) とする。\(0\le x\le22\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（17点）

円 \\(x^2+y^2=484\\) の内部の点 \(Q(11,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 44\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+484\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=22,B=22i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　停止する試行と期待値の連立（16点）

表の確率が \(1/22\)、裏の確率が \(21/22\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{22+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{22n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le22\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{22}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-242a+\frac{10648}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-242\)。定義域内で \(a=22/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=11\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{5324}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=11\) を円の式に代入する。\\(y^2=363\\)。

\[ \boxed{(11,\pm 11\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-11m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{484m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{484-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=22\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le22/2\)。面積の2乗は \(d^2(484-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(484-s)\) は \(0\le s\le484/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=121\sqrt{3},\quad x=11} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+484-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}484&t\le0\\484-t^2&0<t<44\\2420-88t&t\ge44\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-22\le t\le 22\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le22} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>22\) または \(t<-22\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>22\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(44)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2420-88t\)。

\[ \boxed{22<t\le \frac{55}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=11(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=22\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=242\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{11}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{22}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{484},\quad P(T=3)=\frac{21}{10648}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(p=1/22,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{506} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

1回の表までの平均は \(22\) 回なので合計2回の表までの平均は \(44\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=44,\quad\text{差}=462} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{22+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{22+j/n} \]

は \(g(x)=1/(22+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{22+x}\,dx=[\frac23(22+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(23\sqrt{23}-22\sqrt{22})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{22+x}\,dx=[\log(22+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{23}{22}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。