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慶應義塾大学 医学部 数学記述模試 第057回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=26,\ a_{n+2}=26a_{n+1}-25a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(150\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 50\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+625\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=625\\) 上の点 \(P(t,625/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　反射による経路の数え上げ（16点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(50\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（4点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（4点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{50}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{51}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=25(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(25\) なので \(a_{n+1}-a_n=25^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{25^n-1}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(25-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{25(25^n-1)-24n}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=25a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-25a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=150-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=150-2a,\quad \frac{75}{2}<a<75} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=75(75-a)^2(2a-75)\)。微分すると \((S^2)'=450(75-a)(50-a)\)。存在範囲で \(a=50\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=50,\quad S_{\max}=625\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(75\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=75r\)。

\[ \boxed{r=\frac{25}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+625-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}625&t\le0\\625-t^2&0<t<50\\3125-100t&t\ge50\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-25\le t\le 25\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>25\) または \(t<-25\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>25\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(50)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(3125-100t\)。

\[ \boxed{25<t\le \frac{125}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=625/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-625/t=-625(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{625}=2,\quad(2t,0),(0,1250/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1250/t\)。その積が \(2500\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1250} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1250/t\ge100\)。等号は \(t=25\) のとき。

\[ \boxed{\min=100,\quad P=(25,25)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(25\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{126410606437752} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(26\) 回、左が \(24\) 回なので \(\binom{50}{24}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{4861946401452} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{50}{25}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/26\)。

\[ \boxed{\frac{1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(25\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{15801325804719}{281474976710656}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(25\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{140737488355328}{805867616040669}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。