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慶應義塾大学 経済学部・A方式 数学記述模試 第079回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(21\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第2問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(126\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第3問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1323x\) の \(x=21\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第4問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+21\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=21\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{21}=18795307255050944540\)。全割当ては \(21!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{72289643288657479}{196503623737344000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/21\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=126-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=126-2a,\quad \frac{63}{2}<a<63} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=63(63-a)^2(2a-63)\)。微分すると \((S^2)'=378(63-a)(42-a)\)。存在範囲で \(a=42\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=42,\quad S_{\max}=441\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(63\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=63r\)。

\[ \boxed{r=7\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(21)=0\) なので \(l:y=-18522\)。差は \((x-21)^2(x+42)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-42,-18522),\quad(21,-18522)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-42,21]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-42}^{21}(x^3-1323x+18522)\,dx \]

。原始関数は

\[ x^4/4-\frac{1323}{2}x^2+18522x \]

。

\[ \boxed{\frac{5250987}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{21}(f(x)+18522)\,dx=\frac{583443}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=21+t-42t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=21+\frac1{168}-42(t-\frac1{84})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=21\)、\(f(1)=-20\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{3529}{168}\ (\sin\theta=\frac1{84}),\quad\min f=-20\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-42t^2=0\) の解は0と \(1/42\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{42}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。