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慶應義塾大学 商学部・A方式 数学記述模試 第076回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-243x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le9\) とする。\(0\le x\le9\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/9\)、裏の確率が \(8/9\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(54\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-9)(x+9)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-9\) で極大、\(x=9\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }1458,\quad\text{極小値 }-1458} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-1458<a<1458} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=1458\) では \(f(x)-a=(x-18)(x+9)^2\)。\(a=-1458\) では \(f(x)-a=(x+18)(x-9)^2\)。

\[ \boxed{a=1458:x=-9,18;\quad a=-1458:x=-18,9} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le9\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{9}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{81}{2}a+243} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{81}{2}\)。定義域内で \(a=9/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{9}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{243}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{81},\quad P(T=3)=\frac{8}{729}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/9,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{90} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(9\) 回なので合計2回の表までの平均は \(18\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=18,\quad\text{差}=72} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=54-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=54-2a,\quad \frac{27}{2}<a<27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=27(27-a)^2(2a-27)\)。微分すると \((S^2)'=162(27-a)(18-a)\)。存在範囲で \(a=18\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=18,\quad S_{\max}=81\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(27\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=27r\)。

\[ \boxed{r=3\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。