慶應義塾大学 商学部・A方式 数学記述模試 第068回
この回のテストポイント
- 第1問：対数方程式の存在条件
- 第2問：重解を使う三次曲線の面積
- 第3問：完全順列の漸化式と固定点
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数方程式の存在条件（25点）
\(\log_2 x+\log_2(12-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）
（3）\(a=\log_2 27\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）
第2問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-432x\) の \(x=12\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
第3問 完全順列の漸化式と固定点（25点）
\(12\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-144)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<12\)。\(x(12-x)=144/4-(x-12/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,144/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(x(12-x)=27\) を解く。2つの解の和は \(12\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(12)=0\) なので \(l:y=-3456\)。差は \((x-12)^2(x+24)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-24,12]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-216x^2+3456x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{12}=176214841\)。全割当ては \(12!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/12\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=144\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm12,144)\)。底辺の長さは \(24\)、Pから底辺までの高さは \(288\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-12)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{12}(x-12)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。